可能有些人之前看过我那个Schur不等式的一期介绍视频，不过很可惜的就是我嫌弃自己太**了所以直接删掉了，包括其他的一些什么有的没的的，都删了。。
(资料图)
这一篇是来补那个坑的，同时也说一下Schur不等式的推广（以及一些碎碎念）
（所以这个基本上只是视频的文字版，好让大家跳过当时的没品笑话）
对于Schur不等式的应用什么的，网上一搜一大堆啊，这里就不提了
（其实用起来也很简单啦，说白了就是爆破。。。
没错，就是低配版，最标准的形式，谁见谁知道：
等号成立当且仅当，或其中两个数相等而另外一个为零
证明：
注意到这个式子具有对称性，不妨假设
那么
也许乍一看这个证明好像很简单啊，不就是恒等变化？？
那其实在构造这个变换的时候是有技巧在的，要不然大概率会碰上证不下去的情况
想想为什么这个式子可以“自然的”被构造出来，在考虑大小关系的时候有没有什么特别的地方值得深究？
这里留个悬念，接着往下看下一个变体
注意到上面原命题里括号内的变元好像和外面的变元除了“序”有关之外，在证明过程中看上去像陌生人一样，你分你的我分我的，所以理所当然的会有下面的推广（等号成立条件从证明即可看出，这里偷个小懒）：
（因为这个式子关于是对称的，所以他们的序无所谓，只需要满足有序数对的序是顺着来的就可以了）
证明其实可以照抄
聪明的小伙伴可能已经看出来点名堂了，这里还是先不说，留到最后看看
罗马尼亚赌狗数学家Valentin Vornicu于2007年的巨作：
考虑实数，满足要么，要么，假设函数为单调函数或者下凸函数，那么就有，其中，
不妨考虑是奇数，因为当它是偶数的时候是自动成立的
要证明非负，最直接的思路无非就是去考虑一堆非负项的和，但是我们发现，依旧延续上面的套路是不可行的，因为我们多出来了一个幂次，这导致了拆项的困难。那我们必须另辟蹊径，找一个可行的方案
在这里，我们能简单整理的方式就只有合并同类项，为了方便起见，先将左式写为如下形式：
进行第一次合并同类项，从简单的开始，我们有变换式：
以及：
这好像在暗示我们什么——
如果单调，那么必然有（为什么？）
而注意到
所以如果单调，原命题成立（为什么？）
这好像开了个好头，只要，原命题必然成立（为什么？）
也许对于下凸函数也可以这样操作？
画个图，好像确实是这样的
那么尝试一下证明
注意到下凸函数的性质：
那么取这样的使得（这显然是可取的）即可
因此，这一条路是走得通的
（这里凸函数此性质不予证明，以后可能会写一篇专门讲这一堆东西的专栏~不过这个性质的证明我猜应该是烂大街了吧）
总结一下，在Schur不等式的证明当中，我们最希望的，是去用两边的函数值去抵消被包抄的变元的函数值，这也就是文章开头两个版本的Schur不等式证明的动机（因为幂函数单调，所以这个方法是合理的）
总算是把这个坑补上了，溜了
参考资料
[1] 舒尔不等式——百度百科
链接：https://baike.baidu.com/item/%E8%88%92%E5%B0%94%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F/4224241无法识别此网页，请依照以下步骤执行以访问：打开浏览器 - 搜索栏输入“舒尔不等式” - 选择“舒尔不等式_百度百科”）
